AMII skrypt12

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Inną ważną funkcją definiowaną przy pomocy całki z parametrami jest funkcja
B-Eulera.
1
B(x, y) = tx-1(1 - t)y-1dt dla x > 0, y > 0.
Związek pomiędzy funkcjami � i B wyraża wzór
�(x)�(y)
B(x, y) = dla x > 0, y > 0.
�(x + y)
Wzór ten udowodnimy po nauczeniu się całkowania funkcji wielu zmiennych.
Zauważmy, że kładąc t = sin2 �, mamy 1 - t = cos2 �, dt = 2 sin � cos �. Zatem
�/2
2 sin2x-1 � � cos2y-1 � d� = B(x, y).
56
13 Całki wielokrotne
13.1 Definicja i własności całki n-krotnej na przedziale
Przypomnijmy, że przedziałem domkniętym lub kostką domkniętą w przestrzeni n-
wymiarowej Rn nazywamy zbiór
P = P (a, b) = {x " Rn : ai d" xi d" bi, i = 1, . . . , n}, gdzie a
Zrednicą przedziału P nazywamy liczbę
� = �(P ) = (b1 - a1)2 + � � � + (bn - an)2.
n-wymiarową miarą lub objętością przedziału P nazywamy iloczyn
|P | = (b1 - a1) � � � (bn - an).
Podziałem przedziału domkniętego P nazywamy rodzinę � = {P1, . . . , Pk} przedzia-
łów domkniętych Pi o rozłącznych wnętrzach
intPi )" intPj dla i = j
taką, że
k
P = Pi.
i=1
Jeśli �i jest średnicą przedziału Pi w podziale � przedziału P , to � = maxi=1,...,k �i
nazywamy średnicą podziału �. Ciąg podziałów {�j}" przedziału P nazywamy
j=1
normalnym jeśli limj�!" �j = 0 gdzie �j jest średnicą podziału �j.
Niech f : P �! R funkcją ograniczoną zdefiniowaną na przedziale domkniętym P ,
a � = {P1, . . . , Pk} podziałem tego przedziału. Oznaczmy odpowiednio przez m i M
kresy dolny i górny funkcji f na przedziale P , tzn.
m = inf f(x), M = sup f(x).
x"P
x"P
Dla i = 1, . . . , k niech
mi = inf{f(x) : x " Pi},
Mi = sup{f(x) : x " Pi}.
Liczby s i S, gdzie
s = m1|P1| + � � � + mk|Pk|,
S = M1|P1| + � � � + Mk|Pk|,
nazywamy odpowiednio sumą dolną i sumą górną funkcji f odpowiadającą podziałowi
�. Bezpośrednio z powyższej definicji otrzymujemy nierówności
m(b - a)1 d" s d" S d" M(b - a)1,
gdzie (b - a)1 = (b1 - a1) � � � (bn - an).
57
Rozpatrzmy teraz normalny ciąg podziałów {�j}" przedziału P . Niech �j będzie
j=1
średnicą podziału �j, a sj i Sj odpowiednio sumą dolną i górną funkcji f odpowia-
dającą podziałowi �j, j = 1, 2, . . ..
Lemat 13.1 Niech f : P �! R będzie funkcją ograniczoną. Wówczas dla dowolnego
normalnego ciągu podziałów przedziału P istnieją skończone granice
s = lim sj, S = lim Sj
j�!" j�!"
i nie zależą one od wyboru normalnego ciągu podziałów.
Definicja 13.1 Liczbę s nazywamy całką dolną funkcji f na przedziale P , a liczbę
S nazywamy całką górną funkcji f na przedziale P . Stosujemy też oznaczenia
b b
s = f(x)dx = lim sj, S = f(x)dx = lim Sj.
j�!" j�!"
a a
Definicja 13.2 Niech f : P �! R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że f jest
całkowalna w sensie Riemanna na przedziale P jeśli jej całka dolna na przedziale P
jest równa jej całce górnej funkcji na przedziale P . Wówczas wspólną wartość tych
całek nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale P i oznaczamy
b1 bn
f(x)dx = � � � f(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn.
P a1 an
Własności całki Riemanna.
1. Jeśli f : P �! R jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym P , to f jest
całkowalna na P .
2. Jeśli f, g : P �! R są całkowalne na P i c " R, to f + g i cf są całkowalne na
P oraz
f(x) + g(x) dx = f(x)dx + g(x)dx,
P P P
c � f(x)dx = c � f(x)dx.
P P
Definicja 13.3 Niech � = {P1, . . . , Pk} będzie podziałem przedziału P oraz niech
�i " Pi dla i = 1, . . . , k. Sumę
� = f(�1)|P1| + � � � + f(�k)|Pk|
nazywamy sumą przybliżoną. Ciąg sum przybliżonych dla normalnego ciągu podzia-
łów nazywamy ciągiem aproksymacyjnym.
Lemat 13.2 Funkcja f : P �! R jest całkowalna na przedziale P wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje normalny ciąg podziałów taki, że wszystkie ciągi aproksymacyjne
są zbieżne do tej samej granicy.
Interpretacja geometryczna całki podwójnej.
Niech P = [a, b] � [c, d] �" R2 oraz niech f : P �! R będzie funkcją ciągłą na P .
Jeśli f e" 0, to f(x, y)dxdy jest objętością bryły G, gdzie
P
G = {(x, y, z) " R3 : a d" x d" b, c d" y d" d, 0 d" z d" f(x, y)}.
58
13.2 Całka iterowana
Obliczanie całki wielokrotnej bezpośrednio z definicje jest zadaniem trudnym i prak-
tycznie niewykonalnym. Przykładowo zadanie obliczenia całki
xydxdy
[0,1]2
sprowadza się do znalezienia granicy przy k �! " podwójnej sumy
k
i � j 1 k(k + 1) k(k + 1) 1
� = � �! .
k2 k2 2k2 2k2 4
i,j=1
Okazuje się, że całkę wielokrotną można sprowadzić do całki iterowanej, którą z kolei
można obliczyć korzystając z całki nieoznaczonej jednej zmiennej. Pojęcie całki itero-
wanej wprowadzimy w przypadku funkcji dwóch zmiennych. W ogólnym przypadku
pojęcie to można naturalnie uogólnić.
Definicja 13.4 Niech P = [a, b] � [c, d] �" R2 oraz niech f : P �! R będzie funkcją
ograniczoną. Załóżmy, że dla każdego ustalonego y " [c, d] istnieje całka oznaczona
b
Riemanna f(x, y)dx. Jeśli funkcja
a
b
[c, d] y �! g(y) = f(x, y)dx
a [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Odnośniki