[ Pobierz całość w formacie PDF ]

x(t) = R(t, t0)x0 (29)
na rozwiÄ…zanie zagadnienia poczÄ…tkowego (25).
Wzory (28) i (29) możemy zinterpretować następująco. Jeżeli znamy rezolwentę R(t, t0)
układu x = A(t)x oraz znamy stan x0 tego układu w chwili t0 " I, to wzory (28) i (29)
określają stan x(t) układu w dowolnej chwili t " I. Dlatego też macierz fundamentalną
R(t, t0) nazywamy macierzą przejścia stanu.
Przy ustalonych t, t0 " I możemy rozpatrzeć odwzorowanie
Rn x0 -’! x(t) = R(t, t0)x0 " Rn, ( )
które stanowi x0 układu (19) w chwili t0, przyporządkowuje jego stan x(t) w chwili t.
Zachodzi oczywisty
Fakt Odwzorowanie ( ) jest izomorfizmem przestrzeni Rn.
Porównanie wzorów (25) i (29) daje nam wzór
R(t, t0) = ¦(t)¦-1(t0) (30)
pozwalający na wyznaczenie rezolwenty R(t, t0), jeżeli znamy dowolną macierz fundamen-
talnÄ… ¦(t).
Uzasadnimy jeszcze jedną własność macierzy R(t, t0).
Fakt Dla dowolnych t0, t1, t2 " I zachodzi zwiÄ…zek
R(t2, t1) · R(t1, t0) = R(t2, t0). (31)
Istotnie. Wez
my dowolne x0 " Rn oraz niech x1 = R(t1, t0)x0 i x2 = R(t2, t1)x1. Wtedy
x2 = R(t2, t1) · R(t1, t0)x0. Z drugiej strony, startujÄ…c w chwili t0 ze stanu x0, otrzymamy
w chwili t2 (na mocy jednoznaczności rozwiązań) ten sam stan x2 = R(t2, t0)x0. Zatem
dla każdego x0 " Rn mamy R(t2, t1) · R(t1, t0)x0 = R(t2, t0)x0,, co dowodzi wzoru (31).
Z wzoru (31) wynika również, że
R-1(t, t0) = R(t0, t).
Przykład 3.8 Wyznaczyć rezolwentę układu liniowego
0 1
x = x,
-t3 3
2
t
W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE 59
w punkcie t0 = 1.
R o z w i ą z a n i e : Wiemy już (porównaj przykład 3.1), że macierz
t t3
¦(t) =
1 3t2
jest macierzą fundamentalną tego układu. Rezolwentę wyznaczymy ze wzoru (30).
-1
3 1 1
t t3 1 1 t - t3 -1t + t3
2 2 2 2
R(t, 1) = ¦(t)¦-1(1) = = .
3 3 3
1 3t2 1 3 - t2 -1 + t2
2 2 2 2
3.3.3 Układy liniowe o stałych współczynnikach
Zajmiemy się teraz wyznaczeniem rezolwenty układu liniowego o stałych współczynnikach
ñø
dx1
ôø
ôø
ôø = a11x1 + . . . a1nxn
ôø
ôø
dt
òø
.
.
(32)
.
ôø
ôø
ôø
ôø dxn
ôø
óø
= an1x1 + . . . annxn,
dt
zapisanego krótko
dx
= Ax. (33)
dt
Układ (32), w którym prawa strona nie zależy od t, nazywać będziemy liniowym układem
autonomicznym.
Z twierdzenia globalnego Picarda wynika, że zagadnienie początkowe
x = Ax
(34)
x(0) = x0
ma dla dowolnego x0 " Rn dokładnie jedno rozwiązanie określone na I = (-"; ").
Warunek początkowy w zagadnieniu (34) postawiliśmy w punkcie t0 = 0. Uczyniliśmy
tak, ponieważ I = R i mogliśmy przyjąć t0 = 0. Ponadto jak póz
niej pokażemy, znając
rozwiązanie zagadnienia (34), łatwo można otrzymać rozwiązanie zagadnienia
x = Ax
(35)
x(t0) = x0
dla dowolnego t0 = 0.
RozwiÄ…zaniem zagadnienia (34) jest zgodnie z wzorem (29), funkcja wektorowa x(·)
określona wzorem
x(t) = R(t, 0)x0, (36)
60 W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE
gdzie R(t, 0) rezolwentą równania x = Ax w punkcie t0 = 0. Przypomnijmy, że macierz
R(t, 0) nazwaliśmy też macierzą przejścia stanu. Przeprowadza ona układ ze stanu x(0)
w chwili 0, w stan x(t) w chwili t. Z drugiej strony, rozwiązanie zagadnienia (34) można
otrzymać jako granicę ciągu kolejnych przybliżeń Picarda
t
xn+1(t) = x0 + Axn(Ä)dÄ, x0(t) = x0.
Obliczymy kilka początkowych wyrazów tego ciągu.
t
x1(t) = x0 + Ax0 dÄ = x0 + tAx0 = (I + tA) x0,
t t t
x2(t) = x0 + Ax1(Ä) dÄ = x0 + A(I + ÄA)x0 dÄ = x0 + (A + ÄA2) x0 dÄ =
0 0 0
1 1
= x0 + tA + t2A2 x0 = I + tA + t2A2 x0,
2 2
t
1 1 1
x3(t) = x0 + A I + ÄA + Ä2A2 x0 dÄ = I + tA + t2A2 + t3A3 x0, itd.
2 2! 3!
Rozwiązanie x(t), jako granica ciągu kolejnych przybliżeń, jest zatem sumą szeregu
t2A2 t2A3
x(t) = I + tA + + + · · · x0. (37)
2! 3!
Szereg
t2A2 t3A3
I + tA + + + · · ·
2! 3!
jest szeregiem macierzowym. Jego sumy częściowe są macierzami. Powstaje pytanie, jak
należy rozumieć zbieżność szeregu macierzowego. Przez analogię do zbieżności ciągów wek-
torów w przestrzeni Rn ( macierz A = [aij]n×n możemy utożsamić z wektorem w prze-
2
"
strzeni Rn ), zbieżność szeregu macierzowego Ak do sumy A, gdzie Ak = [ak ]n×n
k=0 ij
i A = [aij]n×n sÄ… macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, definiujemy poprzez
m
zbieżność wyrazów ciągu macierzy Sm = Ak, do odpowiednich wyrazów sumy A.
k=1
To znaczy
" " "
Ak = [ak ] = [aij] = A Ð!Ò! "i,j ak = aij.
ij ij
k=1 k=1 k=1
Szereg w nawiasie we wzorze (37), ma postać analogiczną do rozwinięcia funkcji wykład-
niczej w szereg Maclaurina. Przyjmijmy zatem
"
t2A2 t3A3 tkAk
etA = I + tA + + + · · · = dla t " R, gdzie A0 = I. (38)
2! 3! k!
k=0
Wzór (37) możemy zatem przepisać w postaci
x(t) = etAx0. (39)
Porównując wzory (39) i (36) otrzymujemy
W.GrÄ…ziewicz RÓWNANIA RÓ%7Å‚NICZKOWE 61
Wniosek 3.4 Rezolwentą układu liniowego o stałych współczynnikach jest macierz
R(t, 0) = etA wyrażona wzorem (38). [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

domowewypieki.keep.pl